Precalculus with Geogebra

Djurdjica Takači¹, .....
¹University of Novi Sad,.... Faculty of Sciences,

Chapter 1
Funkcije

Definicija. Neka su A i B dva neprazna skupa. Pridruživanje (korespondencija, pravilo) f koje svakom elementu skupa A dodeljuje tačno jedan elemenat skupa B naziva se funkcija.

Ekvivalentna prethodnoj definiciji je

Definicija. Neka su A i B dva neprazna skupa. Relacija f ⊂ A × B je funkcija ako važe sledeća dva uslova

i) (∀x ∈ A) (∃y ∈ B) (x,y) ∈ f;

ii) ((x,y₁) ∈ f ∧ (x,y₂) ∈ f) ⇒ y₁ = y₂.
U oba slučaja pišemo f : A → B. Skup A naziva se domen ili definicioni skup, a skup B se naziva kodomen funkcije f. Ako (x,y) ∈ f, pisaćemo y = f(x). Za veličinu x ∈ A kažemo da je nezavisno promenljiva (ili: original), a za veličinu y = f(x) ∈ B da je zavisno promenljiva (ili: slika).
Skup vrednosti funkcije f je skup
f(A) = {y ∈ B|∃x ∈ A, y = f(x)}, što znači f(A) ⊂ B.

........

Monotone funkcije

Funkcija f : A → B

raste na A, ako za svaki par x₁,x₂ tačaka iz skupa A važi:

x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2);

∫ ρ x-sin(y) e------- 1335x - x5 dx

ne opada na A, ako za svaki par x₁,x₂ tačaka iz skupa A važi

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂);

ne raste na A, ako za svaki par x₁,x₂ tačaka iz skupa A važi

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂);

opada na A, ako za svaki par x₁,x₂ tačaka iz skupa A važi

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

Na slici je prikazann grafik linearne funkcije y = ax + b, gde su a i b klizači. Pomeranjem klizača menja se funkcija i njen grafik. U zavisnosti od funcije Šilja raste ili se smanjuje.

Monotonicity

A function f : A → B is monotonically

increasing on the set X ⊂ A, if for every pair of elements x₁, and x₂ from the set X it holds: $x1 < x2 ⇒ f (x1) < f(x2);$
non decreasing on the set X ⊂ A, if for every pair of elements x₁, and x₂ from the set X it holds: $x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f(x2);$
non increasing on the set X ⊂ A, if for every pair of elements x₁, and x₂ from the set X it holds: $x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f(x2);$
decreasing on the set X ⊂ A, if for every pair of elements x₁, and x₂ from the set X it holds: $x1 < x2 ⇒ f (x1) < f(x2).$

On figure ??? the graph of linear function y = ax + b, where a and b are sliders is shown. By moving the sliders the function is changed, You can follow analytically and graphically. The Goofy is growing and decreasing.

On Figure ??? ) Extreme the function has local minimums at and local maximums at the points . Global minimum is at and global maximum is at the point